田舎社会は国公立大学を尊びます。
僕(中堅私立卒)の場合、特に婚活をしていると露骨に感じます。
「へー●●大学卒なんですか、よく県庁入れましたね、成り上りましたね」みたいに、露骨に冷めた反応をされることもしばしば……

地方の役所も田舎っぽい組織であることは間違いありません。
しかし、学歴に限っては違います。
出身大学が国公立であれ私立であれ、肩身が狭い思いをする機会は滅多にありません。

学歴関係なく同じ仕事をしている

役所に勤めているのは大卒者だけではありません。高卒の方もたくさんいます。

学歴区分に関係なく机を並べ、同じような仕事をしています。
年齢が一緒であれば、給与も昇進スピードも大差ありません。
そのため、学歴の違いを意識することが基本的にありません。

高卒/大卒の区別すら普段は意識に上らないくらいなので、国公立/私立の違いは言わずもがな。
職場でもし国公立大卒を尊重するような言動を取れば、思いっきり浮きますし、一気に敵を増やしてしまうでしょう。
調和を乱す言動にほかなりません。

実務能力とも関係ない

出身大学のランクと実務能力は直結しません。
役所で最も尊ばれるのは調整能力です。学識とは関係ありません。

勤務評価や出世とも関係ないと思われます。
僕の同期職員にも超有名国立大卒業者が何人かいますが、いずれもガチ出世コースからは外れています。

せっかくの学識を活かせていないだけという考え方もできますが……

いずれにせよ実務面でも待遇面でも、私立大卒だからといって全く支障ありません。

最終学歴の更新はできなくなる

学歴を負目に感じる方にとって、地方公務員はおすすめの職場だと思います。
役所内にいる限り、出身大学がプラスにもマイナスにも機能しないからです。

ただし、一旦役所に就職してしまうと上位学歴の取得がほぼ不可能になる点は留意しておくべきでしょう。
民間企業のような、大学院進学のための金銭的支援はありませんし、休職することへの理解も得られにくいです。
僕の知る限りでも、大学院進学のために地方公務員をやめた方が何人もいます。

今の学歴に満足しておらず、上位学位を取得して最終学歴を更新したいという野望があるのでしたら、地方公務員への就職は再考すべきでしょう。叶う見込みは極薄です。